1 引言

当今时代，纷纭复杂的经济现象对金融业带来了巨大的挑战。对于与经济、金融相关专业的大学生而言，掌握金融数学是必须的，其根本目的是应用数学工具去解决金融业界提出的有关风险管理与度量、投资效益优化等各种问题[1]。在这里，建模能力尤为关键，它突显出应用数学知识挖掘出问题的本质、解决复杂金融问题的意识和能力，当今国内多所本科院校在培养金融人才等方面也取得了不错的成绩[2～4]。因此在实际中，具体到经济、金融专业领域特别是金融类等学科知识，要注意通过具体的问题实例把金融和数学通过建模这座桥梁达到真正的融合。

2 数学建模的实用性和必要性

数学建模在金融问题和数学理论之间建立了桥梁。例如，量化投资问题中用到资产组合的非线性优化模型，用统计学等知识对金融原理进行假设检验并得出经验性结论，从而对资产定价等模型的检验等，无不体现着利用数学思想解决金融现实的问题[5,6]。因此，在面对复杂的金融经济现象时，应用数学思维探索现象背后的规律和本质，构建合适的数学模型，合理地解释经济现象，检验金融经济的结果，并将模型应用于更为复杂的现实问题等，都充分展现出建模的能力，是优秀金融人才所必备的素养。

3 数学建模中经济与金融优化模型分析

从理论上看，金融行业人才需要金融学以及高等数学、概率统计等知识，这是必不可少的。但是，理论联系实际是硬道理。从应用上看，金融行业是以资产定价、风险管理、投资组合等问题为核心。在金融工程等必备的专业知识中，对构建优化模型提出了较高的要求，该专业类的学生需要掌握线性规划、非线性规划等各种模型，更需要具有很强的实际建模和运用计算机解决实际问题的能力。下面引入经济与金融学科中典型的建模实例，结合数学建模中的不同的模型构建与实践，根据实际经济金融问题对其进行数学语言的提炼并构造模型与求解，更好地促进了数学理论与经济金融类知识的融合。

3.1 利润的最大化问题

对于厂商来说，利润主要取决于产出与投入之差。假设厂商使用劳动L 和资本K 这两种生产要素即投入，则生产函数Q 可写成：Q=f(L,K)

选取柯布-道格拉斯生产函数形式，即：Q(L,K)=αLαKβ

式中，α 为常数；L 为投入的劳动力数，其单位为万人或人；K 为投入的资本，在这里一般指固定资产净值，其单位是亿元或万元（注意K 的单位需与L 的单位相对应，如万人与亿元相对应）；α 为劳动力产出的弹性系数，β 为资本产出的弹性系数。

假设商品的销售量为S，且销售量S 与生产量Q 相等，即：S=Q=αLαKβ

记销售收入为I，假设I 是S 的二次多项式函数，记：

I=b0S+b1S2

记销售成本为P，固定成本为M0，类似地，假设P 与S 的关系为：P=M0+c0S+c1S2

则利润R 可表示为：R=I-P=(b0-c0)S+(b1-c1)S2-M0

因此，利润最大化问题即求优化模型：

max R(L,K)=(b0-c0)αLαKβ+(b1-c1)(αLαKβ)2

如果同时考虑到成本尽量低，则目标函数可写为：

在实际问题中，a,b0,b1,c0,c1,M0,α,β 为常数。对于求解该目标函数最大的问题，首先将其转化为最小值问题，然后在MATLAB 优化工具箱中选取fminunc 函数，编程进行该模型求解。

3.2 投资的收益与风险问题

在投资期内，市场上有多种资产项目供投资者选择，如股票、债券等。但是这多种资产项目在这一时期内的平均收益率以及风险损失率不相同，同时购买各资产项目时要付交易费，那么在给定的资金额有限的情况下，为了获得最大的投资收益，使总体风险尽可能小，那么就要优化分配各个项目的投资资金。

假设市场上有n 种资产项目（i=1,2,…,n）可选择，给定的资金为M 并作一个时期的投资，在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，风险损失率为qi，交易费率为pi，若总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量，n 种资产Si之间相互独立，投资项目Si的资金记为xi，则设计一种投资组合方案使得净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

根据以上分析，该问题的目标有两个，首先易写出收益的目标函数其次总体风险的目标函数为：min max qixi，该问题是一个多目标规划问题。为了对模型进行简化，在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，记投资风险界限为b，则可使最大的一个风险qixi/M≤b，则将该问题转化为收益最大化的优化问题。即可写成：

该模型是一个线性规划模型，先将目标函数转换成最小值的形式，然后在MATLAB 优化工具箱中选取linprog 函数，编程进行该模型求解。

3.3 资金的最优使用问题

该问题主要是基于如下情况：花费资金则获得一定的收益，但是由于各种条件的限制，资金不能一次使用完，需要分多期使用，从而使一定时期内所获得的效益最大。举例如下：

设现有资金100 万元，要求4年内用完，若在1年内使用资金x 万元，则可以获得效益万元（效益不能再使用）。当年不用的资金可存入银行，年利率为10%，记xi（i=1,2,3,4）分别为第1、2、3、4年所使用的资金，请制定这笔资金的使用方案，使得4年内效益之和最大。

易知，资金若没有使用则不会产生效益，所以该问题的目标函数为，又考虑到未使用的资金存入银行后会有利息收入，所以有以下优化模型：

该模型是一个非线性规划模型，首先将目标函数转化为最小值形式，在MATLAB 优化工具箱中选取fmincon 函数，编程进行该模型求解。

在实际的经济金融问题中，除了以上讨论的优化模型，还有其他如代数方程、回归分析、贝叶斯统计、智能算法等多种建模方法和案例。例如，美国哈佛大学教授列昂惕夫最早提出的国民经济投入产出的数学模型，它就是一个典型的代数方程问题。

4 结语

在当今时代，金融类行业的人才需具备较强的金融建模能力。本文结合当今若干经济与金融问题，分析并构建了相应不同类别的经济与金融优化模型。对于金融建模在当今时代的多种机遇和挑战，我们需把数学理论与经济金融知识相互融合，巧妙地把金融学和数学建模结合起来，用案例分析、以实例为导向等方式进行有广度和有深度的实践，为提高未来优秀金融人才的核心竞争力奠定了坚实的基础。

【1】姜礼尚,徐承龙.金融数学课程体系、教材建设及人才培养的探索[J].中国大学教学,2008(10):11-13+26.

【2】江雪萍,房少梅.创新型金融人才培养模式的探索——基于数学建模的视角[J].金融教育研究,2017,30(4):85-88.

【3】莫晓云.成果导向的金融数学应用型人才培养[J].金融理论与教学,2018(5):98-100.

【4】施明华,周本达,程和平,等.应用型本科院校金融类专业数学模型能力的培养[J].黄山学院学报,2019,21(5):94-97.

【5】姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第4 版）[M].北京:高等教育出版社,2011.

【6】赵静,但琦.数学建模与数学实验（第4 版）[M].北京:高等教育出版社,2014.

文章来源：上海金融 网址: http://shjr.400nongye.com/lunwen/itemid-58343.shtml

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